bantuu please besok di kumpul.. persamaan diferensial Petunjuk : e = [tex] x^{3}[/tex] in e = x.1 = x selesaikan persamaan diferensial satu dan tiga [tex] \fra

(a) [tex] \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y=3x^{3} [/tex]

[tex]P(x)=- \frac{1}{x} [/tex] dan [tex]Q(x)=3x^3[/tex]    ....... pers. (1)

[tex]I= \int\ P(x) dx = -\int\ \frac{1}{x}dx=-ln(x) [/tex]    ....... pers. (2)

[tex]e^{I}=e^{-ln(x)}= \frac{1}{x} [/tex]    ....... pers. (3)

maka solusi umumnya dari persamaan differensial orde 1 di atas adalah: 

[tex]ye^{I}= \int\ Q(x)e^{I} dx+C[/tex]    ....... pers. (4)

substitusikan pers. (1) dan pers. (3) ke dalam pers. (4) menghasilkan:

[tex]y( \frac{1}{x}) = \int\ (3x^{3})( \frac{1}{x}) dx+C=x^{3}+C[/tex]

kalikan kedua ruas dengan [tex]x[/tex] maka menghasilkan:

[tex]y=Cx+x^{4}[/tex]    ....... QED.

(b) [tex] \frac{d^{2}y}{dx^{2}} -5 \frac{dy}{dx}+6y=2e^{x} [/tex]

pertama kita cari terlebih dahulu solusi homogen [tex]y_{h}[/tex] dari persamaan [tex]\frac{d^{2}y}{dx^{2}} -5 \frac{dy}{dx}+6y=0 [/tex] yang adalah:

[tex]y_{h}=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{2x}[/tex]    ....... pers. (1)

kemudian kita cari solusi partikular [tex]y_{p}[/tex] dengan mengasumsikan:

[tex]y_{p}=Ae^{x}[/tex]    ....... pers. (2)
[tex] \frac{dy_{p}}{dx}=Ae^{x}[/tex]    ....... pers. (3)
[tex]\frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}}=Ae^{x}[/tex]    ....... pers. (4)

substitusikan ketiga persamaan di atas ke dalam [tex] \frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}} -5 \frac{dy_{p}}{dx}+6y_{p}=2e^{x} [/tex] menghasilkan:

[tex]A=1[/tex]    ....... pers. (5)

substitusikan pers. (5) ke dalam pers. (2) menghasilkan:

[tex]y_{p}=e^{x}[/tex]    ....... pers. (6)

maka solusi umumnya adalah:

[tex]y=y_{h}+y_{p}[/tex]    ....... pers. (7)

substitusikan pers. (1) dan pers. (6) ke dalam pers. (7) menghasilkan:

[tex]y=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{2x}+e^{x}[/tex]    ....... QED.